「モデル化とシミュレーション」前夜
こんにちは。今回は「モデル化とシミュレーション」の前置きのお話です。高校の情報科の内容が主なテーマのサイトのはずなのに、突然ですが小学校算数の問題の話に飛びます。
小学校 算数の文章題
小学校の算数で「旅人算」であるとか、「鶴亀算」であるとか、「〇〇算」という名が付いた未知数を求めるための問題があります。余談ですが、私が小学生だった三十数年前には、そのような名前があったかどうかは不確かです。
算数の文章題を分類したとき、２人以上が移動するときの時間や道のりを求める問題になっているものを総称して「旅人算」と呼ぶらしいです。
例えば、「太郎くんが駅に着いた８時に忘れ物に気が付いて自宅に分速５５メートルで戻りました。同時刻の８時に、弟の次郎くんがその忘れ物を持って、駅に向かって分速４５メートルで届けに出発しました。自宅と駅の間は１キロメートル離れています。太郎くんと次郎くんが出会って忘れ物を渡すことができるのは、８時何分ですか。」というような問題です。このような問題を一度は目にしたことがあるのではないでしょうか。
文章題の解法
この問題の解法として、次のようなものが考えられます。
- ２人の距離の差に注目して時刻を求める解法
- ２人の距離は１分間で（５５＋４５）メートル＝１００メートル近づく
- 最初２人は１キロメートル＝１０００メートル離れている
- ２人の距離の差が０メートルになるには、１０００÷１００＝１０分かかる
- ８時の１０分後に出会うので、８時１０分に出会う。
- ２人の位置を移動時間を示す変数で表して方程式を解く方法
- ２人が出発してからの移動時間をｔ分とする。
- 家の位置を０、駅の位置を１０００とする。
- 家から駅方向をプラス、逆方向をマイナスと表す。
- 太郎くんは駅から家の方向に分速５５メートルで移動するので、太郎くんの位置は（１０００－５５ｔ）メートルと表せる。
- 次郎くんは家から駅の方向に分速４５メートルで移動するので、次郎くんの位置は（４５ｔ）メートルと表せる。
- ２人の位置が同じときに出会うので、１０００－５５ｔ＝４５ｔ を満たすｔを求めれば、出発してから出会うまでの移動時間が求められる。（この式は１次方程式になっている）
- １次方程式を解くと、ｔ＝１０が求まるので、２人は８時１０分に出会う。
- 実際に歩いてみて確かめる方法
実際に歩いたつもりになってみるには
案外、３番の実際に歩いてみて確かめるということを考え付く人は多いと思います。机上の空論かもしれませんが、机上で実際に歩いたつもりになってみましょう。
- １／１００００スケールにして、駅と家が１０ｍ離れるように測ります。
- 次に駅の位置に太郎くん人形、家の位置に次郎くん人形を置いてみます。
- １分経過したつもりで、太郎くん人形を５５ｃｍ家に近づけます。そして次郎くん人形を４５ｃｍ駅に近づけます。まだ２人は出会いません。
- 少しずつ移動を繰り返して２人が出会うまで続けます。
- そうすると、太郎くんと次郎くんが出会う時刻が求められます。
このとき、特に太郎くん人形でなく、クマさん人形でも結果には影響しません。重要なのは移動時間と２人の位置です。この２つは、問題を解くのに必要な要素になります。
関係する要素をもとにモデルをつくる
移動時間と２人の位置の関係性を式で考えてみましょう。移動時間をｔ分とし、ｔ分間移動した後の太郎くんと次郎くんの位置を式で表します。
太郎くんがｔ分間に歩く距離は５５ｔメートルで駅から戻ってくるので、家からは（１０００－５５ｔ）メートルの位置にいます。
次郎くんがｔ分間に歩く距離は４５ｔメートルなので、家から（４５ｔ）メートルの位置にいます。
整理すると
- 太郎くんの位置 ＝ １０００－５５ｔ
- 次郎くんの位置 ＝ ４５ｔ
ここまで考えたことで、時間と太郎くんの位置の関係、時間と次郎くんの位置の関係の数式ができました。これが数式モデルになります。
シミュレーション
ここまでは２番目の解法「１次方程式」と、変数が違うだけで全く同じ式です。解き方が異なるのはここからです。１次方程式では、２人の位置が等しくなることを使って １０００－５５ｔ ＝ ４５ｔ という式を導いて移動時間ｔを求めました。
一方、３番目の解法「実際に歩いてみて確かめる」というのは、この数式モデルを用いて２人の位置を計算してみることになります。移動時間ｔに０．５分間、１分間、１．５分間…などを代入して２人の位置を求めます。そうすると、それぞれの移動時間が経過したときの太郎くんと次郎くんの位置がわかります。計算した位置に、実際に人形を置いたり、コンピュータを用いて画像として表示すると、よりシミュレーションしている感じになります。
この計算を実際に繰り返しやってみると、手間がかかり面倒です。ということで、コンピュータを使って計算してみましょう。
小学校の旅人算や鶴亀算などの文章題は、モデル化とシミュレーションの練習に適していると思います。算数の問題集は手に入りやすく、答えがついているので答え合わせも簡単にできるので、練習問題としておすすめです。
長くなったので、今日はここまで。続きは、またいつか。