モンティ・ホール問題をExcelでシミュレーションしてみる

2019-03-18モデル化とシミュレーション

こんにちは。今回はモンティ・ホール問題というものを扱ってみたいと思います。

1. モンティ・ホール問題とは
2. Excelでシミュレーション
3. シミュレーションの結果
4. シミュレーションの意義

モンティ・ホール問題とは

モンティ・ホールという人が司会をする番組のゲームが数学的に話題になったものです。そのゲームとは、A・B・Cの3つのドアがあり、そのドアの向こうにはヤギ・ヤギ・車が入っています。

司会とプレイヤーは次のようなやり取りをします。

プレイヤーはA・B・Cのいずれかのドアを選択する
司会はプレイヤーが選ばなかったドアの中からヤギが入っているドアを開ける
司会はプレイヤーにドアを変更してもよいと必ず告げる
プレイヤーは開いていない２つのドアのいずれにするかを選択する
そのドアに車が入っていれば車をもらえる

と概ねそのような問題です。（と書くために調べましたが、数学的な考察の方に関心があるためか、サイトごとにディテールが若干違っているように思いました）

４番の時点で、プレイヤーがドアを変えなくても変えても車が当たる確率は\(\frac{1}{2}\)と考えられそうです。しかし実際の確率は、ドアを変更した場合には\(\frac{2}{3}\)、ドアを変更しなかった場合には\(\frac{1}{3}\)になるのです。これが論争になり、さまざまな説明が考えられました。条件付き確率を考えたり、ベイズの定理を使ったり、ドアの枚数を１００枚とした場合から連想したり、プログラムでシミュレーションしたり、検索すれば多様な説明を見つけることができると思います。あえて、その一つの方法として、Excelでシミュレーションしてみようと思います。

Excelでシミュレーション

次のように列ごとに式を立てていきます。計算しやすいようにドアA・ドアB・ドアCと呼ばないで、ドア１・ドア２・ドア３と数字でドアを表記することにします。

数式はSheetの４行目に入力するものとして説明します。

Ａ列：車が入っているドアを乱数で決定する。ドア１～ドア３まであるので、次の式になります。

=randbetween(1,3)

Ｂ列：プレイヤーが最初に選択するドアを乱数で決定する。本当は好まれる数字というように偏りがあるのかもしれませんが、単純に乱数で決めることにします。そのため、この列も次の式で求められます。

=randbetween(1,3)

Ｃ列：司会がドア１を開けられるかどうかを判定する。司会は車が入っているドアを開けることはできません。また、プレイヤーが選択しているドアを開けることもできません。いずれにも当てはまらない場合は、開けることができます。開けられる場合にはドアの番号の１を表示し、開けられない場合には空文字としておきます。

=IF(AND(A4<>1,B4<>1),"1″,"")

Ｄ列：司会がドア２を開けられるかどうかを判定する。Ｃ列と同じ考え方で次の式が得られます。

=IF(AND(A4<>2,B4<>2),"2″,"")

Ｅ列：司会がドア３を開けられるかどうかを判定する。Ｃ列と同じ考え方で次の式が得られます。

=IF(AND(A4<>3,B4<>3),"3″,"")

Ｆ列：Ｃ列・Ｄ列・Ｅ列の結果をもとに司会が開けることができる列をつないで文字列を作ります。

=C4&D4&E4

Ｇ列：司会が開けるドアを決めます。司会が開けることができるドアの数が１つの場合と２つの場合があるので、LEN(F4)でドアの数を文字列の長さから取得しています。MID関数を使って、Ｆ列で求めた開けられるドアの番号から1つ（1文字）選択します。ここで得られたドアの番号が、司会が開けるドアになります。

=MID(F4,RANDBETWEEN(1,LEN(F4)),1)

Ｈ列：プレイヤーがドアを変更する場合について、どのドアに変更するかを求めます。すべてのドア番号"123″という文字列から、最初に選択したドア番号と司会が開けてしまったドアに変更することはできません。そのため、変更できないドア番号を空文字に置換することにより、残った文字が変更できるドア番号になります。数式では、次になります。

=SUBSTITUTE(SUBSTITUTE(“123″,B4,""),G4,"")

Ｉ列：変更した場合に当たったかどうかを判定しています。H4*1と1を掛けているのは、文字列としての"1″を数値としての1に変換して、数値どうしの比較ができるようにするためです。括弧の外側で1を掛けているのは、TRUE*1は1になり、FALSE*1は0になることを使って、当たった回数の合計をSUM関数で求められるようにするためです。

=(A4=H4*1)*1

Ｊ列：変更しなかった場合に当たったかどうかを判定しています。括弧の外側で1を掛けているのは、Ｉ列と同様の理由です。

=(A4=B4)*1

今回は10000回シミュレーションしてみたいと思います。数式を9999行コピーすることで同じ式を10000行分作ります。