情報科の目で見る数学科学習指導要領（１）線形計画法

2018-11-27モデル化とシミュレーション

こんにちは。前回まで高等学校の数学科の変遷について、学習指導要領をもとに確認してきました。このように確認してきた理由として、数学科が日常や社会の問題を意識した結果、案外情報科との境界が重なってきたのではないかと感じたことがあります。

新学習指導要領解説を熟読するとそのような記述が多くあります。それらを題材として、何回かに分けて取り上げたいと思います。その第１回として、数学Ⅱの（２）図形と方程式に書かれている線形計画法を取り上げたいと思います。

問題

２つの材料ａ，ｂがあり、１日で使用できる量が限られています。これらの材料を組み合わせて２つの製品Ａ，Ｂを製造します。製品Ａ，Ｂを販売したときの利益が最大になるようにするには製品Ａ，Ｂをそれぞれ何個製造したときか。また、その利益を求めよ。（多少ですが、数値を変えています）

解法

もちろん数学Ⅱの（２）図形と方程式で取り上げられているので、不等式が表す領域の問題であることは十分承知しています。しかし、情報科の問題として解くのであれば、「モデル化とシミュレーション」しかないでしょう！

その流れで説明していきます。

製品Ａをｘ個作ったと仮定してシミュレーションします。

製品Ａをｘ個作るには

材料ａの使用量　＝　1kg × x 個

材料ｂの使用量　＝　4kg × x個

ずつ材料を使います。

次に、製品Ｂを作るために使用できる材料の量（残量）を確認しましょう。

材料ａの残量　=　200kg – 材料ａの使用量

材料ｂの残量　=　400kg – 材料ｂの使用量

となります。表計算ソフトウェアでは、別の列に材料ａ，ｂの使用量が計算されているので、数学のように式を整理したりしません。

この残量は製品Ｂの何個分になっているかを求めましょう。

材料ａは何個分　＝　材料ａの残量 / 4kg

材料ｂは何個分　＝　材料ｂの残量 / 2kg

材料ａ，ｂが揃って製品Ｂが作れるので、この個数の少ない方が製品Ｂを作れる個数になるので

製品Ｂを作れる個数y　＝　int(min(材料ａ，ｂは何個分))

です。intを付けたのは、個数は自然数であるためです。

これで、製品Ａ，Ｂを何個作るかが決まったので

利益　＝　2000円 * x + 3000円 * y

により利益が求まります。

表計算ソフトウェアの利用

これに基づいて表計算ソフトウェアに式を入力すると、次のようになります。

製品Ａの個数と利益の関係について折れ線グラフを描くと

となり、製品Ａが８０個より少し多いくらいで利益が最大化します。このあたりの表を読み取ると、

製品Ａ　８６個
製品Ｂ　２８個
利益　　２５６，０００円

ということがわかります。

不等式が表す領域の問題として考えると

今回は数学科での不等式が表す領域の解法には深く触れませんが、製品Ａを製造する個数をx個、製品Ｂを製造する個数をy個として、材料ａ，ｂについて不等式を作り、

Ｇ＝２０００ｘ＋３０００ｙ

を変形した

ｙ＝－２／３ｘ＋Ｇ／３０００

の切片（Ｇ／３０００）を最大化するようなｘ，ｙを見つければ求まります。

それではまた。