お知らせ

ただいま、シンタックスハイライターの設定を見直しております。
プログラムが見にくくなっているページがありますが、ご容赦ください。

おじさん・おばさんが知っている数学(2)

数学

こんにちは。前回に続き、数学科の学習指導要領の変遷をたどっていきます。年代ごとに高校の数学科で学習している内容の認識がズレがあり、議論がかみ合わないような気がしています。限られた授業時間にすべてを盛り込むことは到底不可能で、取捨選択がなされています。年代ごとに何を学習していたかを確認し、その後に次期学習指導要領での関連を検討したいと考えているので、もう何回かお付き合いください。

前回のリンクを貼っておきます。

1960年(昭和35年)告示

1947年4月生~1957年3月生が高校で学習した内容です。系統性を重視したカリキュラムと呼ばれています。数学Ⅰ・数学ⅡA・数学ⅡB・数学Ⅲ・応用数学の5科目で構成されています。

数学Ⅰ(5単位)

(1) 式とその計算

ア 整式と分数式  (ア) 整式とその計算  (イ) 分数式とその計算

イ 無理式

[用語と記号]整式,次数,分数式,有理式,既約分数,無理式,│a|,有理化

(2) 方程式と不等式

ア 二次方程式  (ア) 根の公式と判別式  (イ) 複素数とその四則

イ いろいろな方程式  (ア) 簡単な分数方程式・無理方程式・高次方程式  (イ) 連立方程式

ウ 不等式  (ア) 不等式の基木的な性質  (イ) 一次不等式,二次不等式

[用語と記号]完全平方式,実数,虚数,虚数単位,i,複素数,実根,虚根,判別式,重根,分数方程式,無理方程式,同値,必要条件,十分条件,恒等式,因数定理,絶対不等式,条件つき不等式

(3) 関数とそのグラフ

ア 二次関数,分数関数,無理関数  (ア) 二次関数  (イ) 簡単な分数関数・無理関数

イ 三角関係  (ア) 一般角の三角関数  (イ) ある角の三角関数と,その角の符号を変えた角,余角および補角の三角関数との関係  (ウ) 弧度法

ウ 指数関数

(ア) 指数の拡脹  (イ) 簡単な底の指数関数

エ 対数関数

(ア) 対数  (イ) 指数関数と対数関数との関係  (ウ) 対数計算,計算尺の原理

[用語と記号]関数(函数),f(x),分数関数,無理関数,コタンジェント,cot,一般角,動径,象限,周期,周期関数,正弦曲線,ラジアン,指数関数,底,累乗根,指数法則,対数,真数,対数関数,逆関数,logax,常用対数,logN,指標,仮数

(4) 平面図形と式

ア 点の座標(二点間の距離,線分の内分点・外分点)

イ 直線の方程式(平行関係,垂直関係)

ウ 円の方程式

エ 不等式と領域

[用語と記号]軌跡

(5) 空間図形

ア 直線,平面などの関係  (ア) 直線・平面の結合関係・位置関係および二面角  (イ) 三垂線の定理  (ウ) 直線,平面および円の投影図

イ 空間座標

[用語と記号]二面角,正射影,跡(直線,平面に関するもの),だ円(長円)

(6) 数学と論証

ア 公理,定理,証明

イ 命題とその逆

ウ 証明の方法(直接証明法,間接証明法)

[用語と記号]命題,公理,逆,対偶,背理法

数学ⅡA(4単位)

(1)計算法

ア 近似値,誤差,近似式

イ 表や図による計算

ウ 簡単な実験式

[用語と記号]絶対誤差,相対誤差,近似式

(2) 確率と統計

ア 確率  (ア) 順列と組合せ  (イ) 確率の意味  (ウ) 確率の計算

イ 統計

(ア) 標準偏差  (イ) 推測統計の考え方

[用語と記号]順列,nPr,組合せ,nCr,階乗,n!,確率,余事象,独立事象,従属事象,排反事象,加法定理,乗法定理,期待値,標準偏差,標本,母集団

(3) 数列と極限

ア 等差数列,等比数列

イ 数列の極限

ウ 関数の極限

[用語と記号]数列,第n項,一般項,等差数列,公差,Σ,等比数列,公比,極限,lim,→,∞,極限値,収束,発散,無限等比級数,循環小数

(4) 微分法と積分法

ア 導関数とその計算  (ア) 微分係数  (イ) 導関数の計算

イ 導関数の簡単な応用

ウ 不定積分とその計算

エ 定積分とその簡単な応用

[用語と記号]平均変化率,増分⊿x,微分係数,導関数,f'(x),y’,dy/dx,極大,極小,極値,不定積分,積分定数,\( \int f(x) dx\),定積分,\( \int_{a}^{b} f(x) dx\)

数学ⅡB(5単位)

(1) 順列と組合せ

ア 場合の数の数え方

イ 順列と組合せ

ウ 二項定理

[用語と記号]順列,nPr,組合せ,nCr,階乗,n!,二項定理

(2) 数列と級数

ア 等差数列,等比数列

イ その他の数列

ウ 無限等比級数

[用語と記号]数列,第n項,一般項,等差数列,公差,Σ,等比数列,公比,極限,lim,→,∞,極限値,収束,発散,無限等比級数,循環小数,数学的帰納法

(3) 三角関数とベクトル

ア 三角形への応用(正弦定理・余弦定理,三角形の面積)

イ 加法定理

ウ ベクトル  (ア) べクトルの意味  (イ) 加法,減法,実数との乗法,内積

[用語と記号]正弦定理,余弦定理,加法定理,複素平面,絶対値(複索数に関するもの),偏角,ベクトル,成分,内積

(4) 図形と座標

ア 二次曲線(だ円・双曲線・放物線の標準形の方程式)

イ 座標軸の平行移動・回転

ウ 曲線の表わし方  (ア) 媒介変数による表わし方  (イ) 極座標による表わし方

[用語と記号]焦点,準線(放物線に関するもの),長軸,短軸 直角双曲線,漸近線,二次曲線,媒介変数,極座標,直交座標

(5) 微分法

ア 微分係数

イ 導関数とその計算(関数の和・差・積の導関数)

ウ 導関数の応用(接線,関数値の増減,速度など)

[用語と記号]区間,平均変化率,増分,⊿x,微分係数,導関数,f'(x),y’,dy/dx,極大,極小,極値

(6) 積分法

ア 積分の意味

イ 積分の計算

ウ 積分の応用(面積,体積,道のりなど)

[用語と記号]不定積分,積分定数,\( \int f(x) dx\),定積分,\( \int_{a}^{b} f(x) dx\)

数学Ⅲ(5単位)

(1) 微分法とその応用

ア 関数の極限

イ 導関数とその計算  (ア) 関数の商および合成関数の導関数  (イ) いろいろな関数の導関数  (ウ) 第二次導関数  (エ) 平均値の定理

ウ 導関数の応用  (ア) 接線,関数値の増減,曲線のおうとつ,加速度など  (イ) 近似式

[用語と記号]第二次導関数,y",f"(x),d2y/dx2,変曲点,近似式,自然対数,e

(2) 積分法とその応用

ア 積分の計算  (ア) 簡単な置換積分  (イ) 簡単な部分積分  (ウ) いろいろな関数の積分

イ 積分の応用  (ア) 面積,体積,道のりなど  (イ) 微分方程式の意味

[用語と記号]置換積分,部分積分,微分方程式

(3) 確率と統計

ア 確率の意味

イ 確率の計算(加法定理,乗法定理)

ウ 分布  (ア) 平均とちらばり  (イ) 二項分布,正規分布

エ 標本調査(乱数表にふれる)

[用語と記号]確率,余事象,独立事象,従属事象,排反事象,加法定理(確率に関するもの),乗法定理,変量,標準偏差,期待値,二項分布,正規分布,標本,母集団,標本調査,抜取り検査,品質管理

応用数学(職業教育を主とする学科・6単位)

(1) 三角関数

ア 三角形への応用(正弦定理・余弦定理,三角形の面積)

イ 加法定理

ウ 複素数(複素平面,極形式(z=r(cosθ+isinθ)),ド=モアブルの定理)

(2) 計算法

ア 補間法と実験式

イ 近似値と誤差

ウ 図による計算

エ 複利計算(年金,償還などを含む。)

オ 計算機器

(3) 図形と方程式

ア 二次曲線(標準形の方程式,接線の方程式)

イ 曲線の表わし方(媒介変数および極座標による表わし方)

ウ 空間図形(平面および直線の方程式,二次曲面の標準形の方程式)

エ べクトル(加法,減法,実数との乗法,内積,外積)

(4) 数列と級数

ア 等差数列,等比数列

イ その他の数列

ウ 無限等比級数

(5) 微分法

ア 微分係数,導関数

イ 導関数の計算

ウ 導関数の応用  (ア) 接線,関数値の増減,曲線のおうとつ,速度,加速度など  (イ) マクローリンの展開式の利用

(6) 積分法

ア 不定積分と定積分

イ 積分の計算(簡単な置換積分・部分積分を含む。)

ウ 積分の応用  (ア) 面積,体積,道のりなど  (イ) 物理などへの応用  (ウ) 定積分の近似計算  (エ) 簡単な微分方程式

(7) 確率と統計

ア 順列,組合せ,二項定理

イ 確率,確率の計算,期待値

ウ 記述統計(偏差,相関)

エ 二項分布,正規分布

オ 標本調査(抽出,推定,検定)

【備考】学科によって必要があれば,たとえば,次のような事項を指導してもよい。

行列式・画法幾何・球面三角法・ラプラス変換

1970年(昭和45年)告示

1957年4月生~1966年3月生が高校で学習した内容です。現代化カリキュラムといわれる濃密なカリキュラムです。数学一般・数学Ⅰ・数学ⅡA・数学ⅡB・数学Ⅲ・応用数学の6科目で構成されています。

数学一般(6単位)

(1) 集合

ア 集合(ド=モルガンの法則を含む)

イ 二つの集合の要素の間の対応

ウ 個数の求め方(順列,組合せを含む)

[用語および記号]nPr,nCr

(2) 図形

ア 図形の性質

イ 三角比などによる図形の考察

[用語および記号]弦,sin,余弦,cos,正接,tan

(3) 変化とそのとらえ方

ア 関数のとる値の変化と微分係数

[用語および記号]微分係数

(4) 不確実な事象のとらえ方

ア 簡単な事象の確率

イ 簡単な標本調査

[用語および記号]試行,事象

(5) 論埋

ア 命題とその合成

イ 命題の相互関係

[用語および記号]対偶

(6) ベクトルと行列

ア ベクトルの意味とその演算

イ 行列の意味とその演算

[用語および記号]ベクトル,行列

(7) 線形計画の考え

ア 連立一次不等式と平面上の領域

イ 二変数の一次式のとる値の最大・最小

(8) 電子計算機と流れ図

ア 電子計算機の機能

イ 流れ図

数学Ⅰ(6単位)

A 代数・幾何

(1) 数と式

ア 実数とその演算・大小関係

イ 整式・有理式とそれらの演算

[用語および記号]整式,分数式,有理式

(2) 方程式と不等式

ア 方程式  (ア) 実係数の二次方程式  (イ) 複素数  (ウ) 方程式と因数定理

イ 不等式  (ア) 簡単な絶対不等式  (イ) 数係数の二次不等式

[用語および記号]判別式,虚数,i,複素数

(3) ベクトル

ア ベクトルの意味と相等

イ ベクトルの加法,減法および実数との乗法

ウ べクトルの有向直線上への射影

エ ベクトルの成分表示

[用語および記号]べクトル,零べクトル,単位ベクトル,有向線分,成分

(4) 平面図形と式

ア 平面上の座標(二点間の距離,線分の分点)

イ 直線と一次方程式(平行関係,垂直関係)

ウ 円の方程式

エ 簡単な二次方程式の表わす曲線

オ 不等式と領域

[用語および記号]象限,だ円(長円)

B 解析

(1) 写像

ア 写像の意味

イ 写像の合成,逆写像

ウ 写像としての関数

[用語および記号]写像,合成(写像に関するもの),逆写像

(2) 簡単な関数

ア 二次関数,関数 \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\)

イ 指数関数,対数関数の意味

[用語および記号]累乗根,指数法則,底,指数関数,対数,対数関数,\( \log _{a} x\)

(3) 三角関数

ア 正弦,余弦および正接の意味

イ 三角形の辺と角との間の基本的な関係

ウ 三角関数とその周期性

[用語および記号]正弦,sin,余弦,cos,正接,tan,一般角,動径,ラジアン,三角関数,周期,周期関数

C 確率

(1) 確率

ア 確率の意味とその基本的な法則

イ 条件つき確率,事象の独立

[用語および記号]試行,事象,余事象,排反,条件つき確率,独立,従属,階乗,n!,nPr,nCr

D 集合・論理

(1) 集合と論理

ア 条件pとそれを満たすxの集合

イ 命題の合成,相互関係

ウ ‘すべてのxについてpである。’,‘あるxについてpである。’の意味とそれらの否定

[用語および記号]直積,A×B,対偶,必要条件,十分条件,同値

数学ⅡA(4単位)

A 代数・幾何

(1) 行列

ア 行列の意味

イ 行列の演算(加法,減法,実数との乗法,乗法)

ウ 基本的な一次変換

[用語および記号]行列,ー次変換

B 解析
(1) 微分法と積分法

ア 微分係数の意味

イ 導関数とその計算(関数の和・差の導関数)

ウ 導関数の応用(接線,関数値の増減,速度など)

エ 積分の意味

オ 積分の計算と簡単な応用

[用語および記号]区間,増分,⊿x,極限値,lim,微分係数,導関数,f'(x),y’,dy/dx,極大,極小,極値,不定積分,積分定数,\( \int f(x) dx\),定積分,\( \int_{a}^{b} f(x) dx\)

C 確率・統計
(1) 確率と統計

ア 確率分布の考え

イ 統計的な推測の考え方

[用語および記号]乱数表,確率分布

D 計算機
(1) 電子計算機と流れ図

ア 電子計算機の機能

イ 流れ図

数学ⅡB(5単位)

A 代数・幾何

(1) 平面幾何の公理的構成

ア 公理,定義および定理の意味

イ 平面幾何の構成

[用語および記号]公理

(2) 空間における座漂とベクトル

ア 空間座標(点の座標,二点間の距離,線分の分点)

イ 空間におけるベクトル

ウ 空間におけるベクトルの加法,減法および実数との乗法

エ ベクトルの内積

オ 直線,平面および球の方程式

[用語および記号]内積

(3) 行列

ア 行列の意味

イ 行列の演算(加法,減法,実数との乗法,乗法)

ウ 連立一次方程式

エ 一次変換

[用語および記号]行列,逆行列,\( A^{-1}\),一次変換,加法定理(三角関数に関するもの)

(5) 二項定理,有限数列

ア 二項定理

イ 簡単な数列(等差数列,等比数列など)

ウ 数学的帰納法,帰納的定義

[用語および記号]二項定理,数学的帰納法,数列,一般項,等差数列,公差,等比数列,公比,Σ

B 解析
(1) 微分法と積分法

ア 微分係数の意味

イ 導関数とその計算(関数の和・差・積の導関数)

ウ 導関数の応用(接線,関数値の増減,速度など)

エ 積分の意味

オ 積分の応用(面積,体積など)

[用語および記号]区間,増分,⊿x,極限値,lim,微分係数,導関数,f'(x),y’,dy/dx,極大,極小,極値,不定積分,積分定数,\( \int f(x) dx\),定積分,\( \int_{a}^{b} f(x) dx\)

数学Ⅲ(5単位)

A 解析

(1) 数列の極限

ア 数列の極限(無限等比級数を含む)

[用語および記号]収束,発散,∞,無限等比級数

(2) 微分法とその応用

ア 関数とその導関数  (ア) 関数値の極限  (イ) 関数の商の微分法  (ウ) 合成関数・逆関数の微分法  (エ) 三角関数の導関数  (オ) 指数関数・対数関数とそれらの導関数  (カ) 第二次導関数

イ 導関数の応用  (ア) 接線,関数値の増減,曲線のおうとつ,速度,加速度など  (イ) 近似式

[用語および記号]自然対数,e,第二次導関数,f"(x),y",d2y/dx2,平均値の定理,変曲点

(3) 積分法とその応用

ア 関数の積分法  (ア) 簡単な部分積分法,置換積分法  (イ) いろいろな関数の積分

イ 積分の応用  (ア) 面積,体積,道のりなど  (イ) 微分方程式の意

[用語および記号]部分積分法,置換積分法,微分方程式

B 確率・統計

(1) 確率分布

ア 母集団と標本

イ 確率分布(確率変数の平均,分散,標準偏差を含む)

ウ 二項分布,正規分布

[用語および記号]乱数表,分散,確率分布,確率変数,二項分布,正規分布

(2) 統計的な推測

ア 統計的な推測
[用語および記号]推定,検定

数学応用(職業を主とする学科)

(1) ベクトルと行列

ア ベクトルの内積

イ 行列の意味と演算

ウ 一次変換

[用語および記号]内積,行列,一次変換

(2) 微分法と積分法(Ⅰ)

ア 微分係数

イ 導関数とその応用(関数の和・差の導関数)

ウ 不定積分と定積分

エ 積分の応用

[用語および記号]区間,増分,⊿x,極限値,lim,微分係数,導関数,f'(x),y’,dy/dx,極大,極小,極値,不定積分,積分定数,\( \int f(x) dx\),定積分,\( \int_{a}^{b} f(x) dx\)

(3) 確率分布

ア 母集団と標本

イ 確率分布

ウ 統計的な推測の考え方

[用語および記号]乱数表,分散,確率分布,確率変数

(4) 有限数列

ア 等差数列

イ 等比数列

(5) 三角関数

ア 加法定理(asinθ+bcosθの変形を含む)

(6) 微分法と積分法(Ⅱ)

ア 関数の微分法・積分法  (ア) 関数の積・商の微分法  (イ) 合成関数・逆関数の微分法  (ウ) 簡単な部分積分法,置換積分法

イ 簡単な初等的な関数の導関数と積分

ウ 導関数と積分の応用

エ 微分方程式の意味

(7) 確率と統計の応用

ア 統計的な推測

イ 品質管理,抜取り検査など

(8) 計算機と数値計算

ア 計算機  (ア) 論理回路  (イ) 流れ図

イ 数値計算と誤差

(9) オペレーションズリサーチ

ア 線形計画法

イ 在庫の問題など

今回もかなりの分量になったので、おしまいにします。この頃の特徴として、写像や論理のような理論的な数学の内容が多いように思います。また、計算機に関する内容が含まれ始めたことも特徴になりそうです。さらに感じたことは、思っていた以上に統計の内容が含まれていることです。統計分野の専門家にとって必修化することが悲願となっていたという話を聞いたことがありますが、いかに統計分野が冷遇されていたのか推し量ることができます。次回も続けます。それではまた。

この記事を書いた人
春日井 優

高校で情報科という教科を担当しています。以前は数学科も担当していました。(今でも数学科の教員免許状は有効です。)プログラムを覚えたのは、「ゲームセンターあらし」という漫画のキャラクターがBASICを解説する「こんにちはマイコン」を読んだことがきっかけでした。

Posted by kasugai